赵君卿
赵君卿（Zhao Shuang, 3世纪初）中国数学家。东汉末至三国时代人。约生活于公元3世纪初。字君卿，东吴人。据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。
学术成就
他的主要贡献是约在222年深入研究了《周牌算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”
即2ab+(b-a)^2=c^2，化简便得a^2+b^2=c^2。其基本思想是图形经过割补后，面积不变。刘徽在注释《九章算术》时更明确地概括为出入相补原理，这是后世演段术的基础。赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。例如 √(2(c-a)(c-b)) + (c-b) = a， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) = b， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) + (c-b) = c等等。他还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。此外，使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在‘旧高图论”中给出重差术的证明。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。
赵君卿自称负薪余日，研究《周髀》，遂为之作注，可见是一个未脱离体力劳动的天算学家。一般认为，《周髀算经》成书于公元前100年前后，是一部引用分数运算及勾股定理等数学方法阐述盖天说的天文学著作。而大约同时成书的《九章算术》则明确提出了勾股定理以及某些解勾股形问题。赵君卿《周髀算经注》逐段解释《周髀》经文。而最为精彩的是附录于首章的勾股圆方图，短短500余字，概括了《周髀算经》、《九章算术》以来中国人关于勾股算术的成就，其中包含了勾股定理勾股定理(这里以a，b，c分别代表直角三角形的勾、股、弦三边之长)a^2+b^2=C^2及其变形b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)，a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)，c^2=2ab+(b-a)^2；有通过开带从平方a^2+(b-a)a=1/2[c^2-(b-a)^2]求勾a，开平方a=[c^2-(c^2-a^2)]^1/2求勾a，开带从平方(c-a)^2+2a(c-a)=c^2-a^2求勾弦差c-a的方法，以及c=(c-a)+a，c+a=b^2/(c-1), c-a=b^2/(c+a),c=[(c=a)^2+b^2]/2(c+a), a=[(c+a)^2-b^2]/2(c+a)等公式，与上述公式对称，也有求b, c-b, c+b及由c-b, c+b求c, b的公式，又有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式a=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b), b=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-a),c=[(2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b) + (c-a)以及勾股差b—a与勾股并b+a的关系式(a+b)^2=2c^2—(b-a)^2，a+b=[2c^2-(b-a)^2]^1/2, b-a=[2c^2-(b+a)^2]^1/2,进而由此给出了求a,b的公式b=1/2[(a+b)+(b-a)], a=1/2[(a+b)-(b-a)]，最后给出了由弦与勾（或股）表示的股(或勾)弦并与股(或勾)弦差之差：
(c+b)-(c-b)=[(2c)^2-4a^2]^1/2
(c+a)-(c-a)=[(2c)^2-4b^2]^1/2
赵君卿用出入相补方法对上述公式作了证明。这些公式大都与《九章算术》及其刘徽注所阐述的相同，证明方法也类似，只是最后两个公式为刘徽注所没有，所用术语也与刘徽稍异。可见，这些知识是汉魏时期数学家们的共识。《畴人传》说勾股圆方图注“五百余言耳，而后人数千言所不能详者，皆包蕴无遗，精深简括，诚算氏之最也”。
文献资料
[1](吴)赵爽注：周髀算经，见钱宝琮校点《算经十书》上册，中华书局，1963。
研究文献
[2]钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社，1964。
[3]钱宝琮：周髀算经考，见《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社，1983。
[4](清)阮元主编：畴人传，商务印书馆重印本，1955。（科学出版社《中国古代科学家传记》）
赵君卿，三国时期东吴的数学家。曾注《周髀算经》，他所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有云幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。
赵君卿还在《勾股圆方图注》中推导出二次方程和求根公式 在《日高图注》中利用几何图形面积关系，给出了重差术的证明。（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）。赵君卿“出入相补原理”
赵君卿名字稽考
赵君卿是我国古代著名的数学家，他对《周髀算经》的注长期受人重视。用“出入相补原理”证明勾股定理是他一生最得意的工作，其证法与西方欧几里得证明该定理的特点大为不同，反映了中华传统数学和数学思想的鲜明特色。阮元在《畴人传》中曾予美誉： 勾股圆方注五百余言耳，而后人数干言不能详者，皆包蕴无遗，精深简括，诚算氏之最也。
阮元对赵君卿的评价可以说是恰如其分。但赵君卿究竟是何许人？提出这个问题在研究数学史的人的眼中看来似乎是一个非常幼稚的问题：“赵君卿”难道说不就是“赵爽”吗？非也！“赵君卿”是“赵婴”，而不是“赵爽”。本文辨析如下（在下文中，把认为“赵君卿”是“赵爽”的观点简称为“赵爽说”；把认为“赵君卿”是“赵婴”的观点简称为“赵婴说”）：
1、支持“赵爽说”的在宋代有李籍，今人有钱宝琮、李迪等人。其中李籍是“赵爽说”的首先提出者，他在《周髀算经音义》中写道：
赵君卿，爽字也，不详何代人也。
钱宝琮是“赵爽说”的最重要的支持者，早在1929年，他在《科学》第十四卷第一期撰文《周髀算经》考中写道：
《隋书·经籍志》载“《周髀》一卷赵婴注”，《周髀》一卷甄鸾重述。《唐书·艺文志》天文类有赵婴注《周髀》一卷，甄鸾注《周髀》一卷，其历算类又有李淳风释《周髀》二卷。宋元丰七年九月秘书省刊“算经十书”，《周髀算经》一部上下共二册，即以李淳风注本付印。卷首题“赵君卿注，甄鸾重述，唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释。”按赵君卿注其自序称：“爽以暗蔽”，注内屡称“爽或疑焉”，“爽未之前闻”，“此爽之新术，”“于是爽更为新术”，则注者是爽不名婴毫无疑义。
钱宝琮先生还批评了《隋书》、《唐书》及鲍澣之等。他继续写道：
《隋志》误作赵婴，《唐书》因亦沿讹，南宋鲍澣之谓“赵婴、赵爽止是一个人”是也，然云“当从隋唐之书为正”，则来免矜慎太过矣！
李迪也是“赵爽说”的支持者，在白尚恕主编的《中国数学史大系》第三卷东汉三国时期部分，李迪先生写道：
在宋刊本《周髀算经》的序署名为“赵君卿”，而又序中又说：“爽以暗蔽，才学浅昧，”因此宋代李籍说：“君卿，赵爽字也”。这是可能的。又，“《周髀》一卷，[赵婴注] 。”（李先生在这里加了注《隋书》卷三十四，经籍志）于是清代阮元认为“赵爽，字君卿，一曰名婴”。恐怕“一曰名婴”之说不可靠，很可能是由于两字的字形相近，由“爽”误为“婴”所致。
2、支持“赵婴说”的有鲍澣之、明代的朱载堉等人，其中鲍澣之是“赵婴说”的首先提出者，他认为：
《周髀算经》二卷，古盖天之学也。······《隋书·经籍志》有赵婴注《周髀》一卷，而唐之艺文志天文类有赵婴注《周髀》一卷，甄鸾注《周髀》一卷；其历算类仍有李淳风注《周髀算经二卷》。本此一书耳。本朝崇文总目与夫中兴馆阁书目皆有《周髀算经》二卷，云赵君卿述，甄鸾重述，李淳风等注释。赵君卿名爽，君卿其字也。如是则在唐以前则有赵婴之注，而本朝以来则是赵爽之本，所记不同，意者赵婴，赵爽止是一人。岂其字相类，转写之误耶，然亦当以隋唐之书为正可也。
朱载堉也支持“赵婴说”，他在明代版《古周髀算经》的跋文写道：
朱载堉曰：齐有晏婴，汉有灌婴，皆大臣也。故赵婴，字君卿，盖取也。以此证之。爽字误无疑矣。
此外还有一种折衷的观点，这种观点认为“赵婴说”“赵爽说”都有一定的合理性，并把这两种说法都并存保留，支持这种观点的有阮元、李俨等人。如阮元认为：
赵爽，字君卿，一曰名婴。
李俨也持同说：
赵爽，字君卿，一曰名婴
沈康身也认为：
赵爽名婴，字君卿，身世不详。
折衷说没有错误，但不能确切解决赵君卿的名字之谜。
在中算史界，“赵婴说”现在似乎销声匿迹了。但通过分析支持双方观点的证据，可以这么说，“赵婴说”比“赵爽说”更有说服力，在现有的资料条件下，我们认为赵君卿为赵婴更合理一些。
1、从资料的源头来说，支持“赵婴说”的最早资料来自《隋书》和新旧《唐书》，而支持“赵爽说”的最早资料来自李籍的《周髀算经音义》。而李籍大约活动于北宋宋神宗元丰人，《隋书》是由唐魏征主编的，新旧《唐书》分别是由后晋刘煦和北宋欧阳修主编的，三人的时代显然都在宋神宗元丰之前。从这个方面看，支持“赵婴说”的证据的质量优于支持“赵爽说”的质量。
2、双方认为“爽”“婴”字形相似，容易相互误写，这恰恰成了支持“赵婴说”的有力证据，由于“赵婴”在前，不可能如李迪先生所说的，“赵爽”误为“赵婴”是由“爽”误为“婴”所致。
3、朱载堉根据古人起名的习惯而提出的支持“赵婴”说的的证据，“赵爽说”更是不具备的。古人有名有字，名和字一般都有意义上的联系，如屈原，名平，字原；诸葛亮，字孔明；岳飞，字鹏举等等。“君卿”意为“君王之臣”，而晏婴、灌婴都是赵君卿之前的史上名臣。因此，为“赵君卿”取名为“婴”是有深意的，希望他长大了能做象晏婴和灌婴那样的大官。据此看来，朱载堉的分析是很有道理的。
4、今天所传的《周髀算经》都是以宋代的版本为母本，以前的版本都已经散佚殆尽，以宋版的《周髀算经》的内容本身作为支持“赵爽说”的依据是不充分的。
5、既然如此，为什么鲍澣之不在他刊刻的《算经十书》中把错误改正过来，而消除后世的纷争呢？鲍澣之深知前人写书抄书的不易，为了尊重前人的心血劳动，他在刻书时尽量要保持前书的原貌。如他发现以前历代算家对甄鸾的记述都有错误，但在《数术记遗》中，他并没有纠正。这件事已被他写入到《数术记遗》序中：
甄鸾，宇文周时人，尝造太和历者。算家诸书其衔以为汉中郡守（前司隶时代官称），皆承误也。今不欲改，因书于卷末。
可见，既然他不愿改正前人关于甄鸾的错误，那么他不愿改正前人关于赵君卿的错误是很有可能的，总之，鲍澣之首先提出的“赵婴说”比起其对立面“赵爽说”的理由要充分得多。今天在这里提出来，希望能引起学术界重视，能够给赵君卿的名字一个正确的说法，从而改正流行多年的错误。